Van natuurtonen naar koperblaasinstrumenten

 

J. de Ruiter

8 september 2015

 

Op elke buis, of deze nu cylindrisch, conisch of onregelmatig van vorm is, of kort of lang, kan men tonen blazen als men de mond op het dunste uiteinde plaatst en dan aanblaast met een bepaalde lipspanning.

De natuurkundige achtergrond hierbij is dat het aanblazen van de buis leidt tot een staande longitudinale trilling van de luchtkolom in de buis, die aan het uiteinde van de buis overgedragen wordt aan de open lucht en via het trommelvlies hoorbaar wordt als een toon. Door de lipspanning te variëren kunnen dan zelfs meerdere tonen geproduceerd worden.

Met enige oefening kan iedereen dat zelf vaststellen.

 

Dit is natuurlijk in het verre verleden al ontdekt, omdat men ongetwijfeld wel eens de neiging had de mond aan een plantaardige stengel of een dierlijke hoorn te zetten. Zo is gaandeweg een ontwikkeling in gang gezet die op den duur leidde tot echte koperblaasinstrumenten zoals trompet, bugel, waldhoorn, trombone, euphonium, tuba enz.

 

Deze ontwikkelingsgang is echter een zeer lange weg geweest, omdat het een wisselwerking is geweest tussen twee belangrijke aandachtsgebieden van de mens: muziektheorie en hogere natuurkunde.

Iedereen vindt het tegenwoordig heel gewoon dat op alle koperblaasinstrumenten elk van de 12 toonladders geblazen kan worden en dat ook nog over meerdere octaven. De meeste mensen hebben echter geen idee welke verrassende structuur hierachter zit, dat deze structuur een langdurige experimentele ontdekkingsreis achter zich heeft en dat de natuurkunde van een aantal effecten geen precieze beschrijvingen heeft.

In dit stukje wil ik proberen deze interessante ontwikkelingsgang op hoofdlijnen uit de doeken te doen.

 

1. De rol van buis, mondstuk en klankbeker

 

Eerst kijken we naar de vorm en onderdelen van de bekende koperblaasinstrumenten.

Trompet: mondstuk, grotendeels cylindrische buis, klankbeker, 3 ventielen.

Bugel: mondstuk, grotendeels conische buis, klankbeker, 3 ventielen.

Waldhoorn: mondstuk, grotendeels conische buis, klankbeker, 3 ventielen.

Euphonium: idem als bugel, maar langer en robuuster.

Tuba: idem als euphonium, maar nog langer en robuuster.

Trombone: mondstuk, grotendeels cylindrische buis, klankbeker, geen ventielen maar een schuifbuis.

 

We kijken eerst eens naar het onderdeel buis van al deze instrumenten. Deze buis wordt aangeblazen door een mondstuk en daardoor ontstaat een staande longitudinale trilling in de buis. De natuurkunde geeft een precieze beschrijving van de frequenties (resonanties) die dan ontstaan in een cylindrische buis die aan een kant gesloten is en ook van de frequenties als de buis conisch is en aan een kant gesloten. De eerste beschrijving zit op het niveau van natuurkunde in het vwo. De tweede beschrijving is echter veel ingewikkelder en zit op het niveau van universitaire natuurkunde.

Echter, van de genoemde instrumenten is de buis nooit helemaal zuiver cylindrisch of zuiver conisch, noch afgezien van het feit dat de buis overgaat in een klankbeker. Hier bood de natuurkunde geen toereikende beschrijvingen meer.

 

We kijken nu naar de rol die het mondstuk en de klankbeker spelen. Deze rol is cruciaal gebleken.

Het effect van het mondstuk is: van de frequenties die de buis zelf voortbrengt worden de lagere wat naar boven gestuwd.

Het effect van de klankbeker is: van de frequenties die de buis zelf voortbrengt worden de   hogere wat naar beneden geduwd.

Deze belangrijke effecten hebben het mogelijk gemaakt dat in de loop der tijden, na veel geëxperimenteer, koperblaasinstrumenten ontwikkeld konden worden, nog zonder ventielen, die een nog niet volledige maar wel goed bruikbare tonenreeks konden voortbrengen. Een zeer bekend voorbeeld is de natuurtrompet.

 

2. De natuurtonenreeks

 

Deze voorlopers van de huidige koperblaasinstrumenten hadden dus nog geen ventielen, maar men was erin geslaagd, na een lange tijd van experimenteren, de instrumenten zodanig vorm te geven dat ze bij aanblazen door een mondstuk de volgende reeks frequenties opleverden:

 

(x),    [f],    2f,    3f,    4f,    5f,    ……….

 

F requentie betekent: aantal trillingen per seconde. 1 hertz (Hz) = 1 trilling per seconde.

Hierbij staan de frequenties x en f tussen haakjes, omdat hier wat bijzonders mee is

De frequentie x is lager dan f en is zo laag dat het aanblazen hiervan in het algemeen niet lukt. Bovendien past de bijbehorende toon niet bij de belangrijkste andere tonen uit deze reeks.

De frequentie f is, in tegenstelling tot alle volgende frequenties in de reeks, niet de resultante van een resonantie, maar kan wel aangeblazen worden. De bijbehorende toon heet een pedaaltoon. De blazer zelf merkt niets van het bijzondere natuurkundige karakter van deze toon.

 

De feitelijk te produceren reeks frequenties is dus:

 

f,    2f,    3f,    4f,    5f,   ………..

 

d.w.z. bestaat uit de opeenvolgende veelvouden van een vaste frequentie f.

De tonen die horen bij deze mooie regelmatige reeks frequenties worden natuurtonen genoemd.

 

Let wel: als men, al dan niet met een mondstuk, op zo maar een willekeurige buis tonen blaast, dan heeft de geproduceerde reeks tonen in het algemeen dus niet deze mooie regelmatige structuur!

 

3. De gewone toonladder

 

Welke tonen horen nu bij de reeks natuurtonen f,     2f,     3f,     4f,     5f, …….. ?

 

Om dit uit de doeken te doen moeten we het volgende bekend veronderstellen:

 

·          Een halve toon hoger houdt in dat de frequentie met 6 % toeneemt.

·          Als de frequentie van een toon verdubbeld wordt, ervaart ons gehoor beide tonen als min of meer gelijkklinkend. Zo'n toonhoogteverschil (interval) wordt een octaaf genoemd.

·          De gewone toonladder do, re, mi, fa, sol, la, si, do bestaat uit een opklimmende reeks van 8 tonen met de volgende 7 intervallen:
hele toon, hele toon, halve toon, hele toon, hele toon, hele toon, halve toon.
De 2e toon is dus een hele toon hoger dan de 1e, de 3e ook een hele toon hoger dan de 2e, maar de 4e toon is slechts een halve toon hoger dan de 3e. Enz.

 

Dit betekent dus het volgende:

als de begintoon do de frequentie f heeft, dan bestaat de gewone toonladder uit de volgende

reeks opklimmende frequenties:

 

f    1,062f    1,064f    1,065f    1,067f    1,069f     1,0611f     1,0612f

 

De laatste toon heeft de frequentie 1,0612f ≈ 2,012 f en is dus nagenoeg gelijkklinkend aan de eerste toon met frequentie f en heet daarom dan ook weer do.

Om het precies te maken, moeten we dus i.p.v. 1,06 eigenlijk de 12e machtswortel van 2 nemen. Dit is de waarde r = 1,05946 (afgerond op 5 decimalen).

Deze waarde houden nu voor het vervolg aan.

 

I.p.v. de aanduiding do, re, mi, fa, sol, la, si, do voor de toonladder wordt vaak de aanduiding C, D, E, F, G, A, B, C gebruikt. We laten hier in het midden welke frequentie de 1e toon van de toonladder heeft. De 1e toon hoeft dus in werkelijkheid niet C te zijn!

 

Kort samengevat:

als de 1e toon van de gewone toonladder C, D, E, F, G, A, B, C de frequentie f heeft, dan bestaat de gewone toonladder dus uit de volgende frequenties:

 

f    r2f     r4f     r5f     r7f     r9f     r11f     r12f met r = 1,05946.

 

Afgerond op 3 decimalen wordt dit de reeks:

 

f    1,22 f    1,260 f    1,335 f    1,498 f    1,682 f    1,888 f    2,000 f

 

Samengevat:

als de 1e toon van de gewone toonladder (die we gemakshalve C noemen) frequentie f heeft, dan bestaat de gewone toonladder uit de volgende frequenties:

 

C

f

D

1,22 f

E

1,260 f

F

1,335 f

G

1,498 f

A

1,682 f

B

1,888 f

C

2,000 f

 

4. De (bruikbare) tonen van de natuurtonenreeks

We kunnen nu de vraag beantwoorden welke tonen bij de reeks natuurtonen f, 2f, 3f, 4f, 5f, ….. horen.
Zoals al aangegeven, de toon met frequentie f noemen we C.

Verdubbeling van de frequentie geeft dezelfde toon, zoals we hebben gezien. Dus de frequenties 2f, 4f, 8f, 16f, enz. geven ook weer de toon C, maar dan steeds een octaaf hoger.
We kijken nu naar de 3
e natuurtoon, dus de natuurtoon met frequentie 3f. T.o.v. de 2e natuurtoon is de frequentie toegenomen met een factor 3/2 = 1,5. Omdat de 2e natuurtoon de toon C is, moet de 3e
natuurtoon dus de toon G zijn. De frequenties 6f en 12f zijn dan ook de toon G.
Vervolgens bekijken we de 5
e natuurtoon, dus de natuurtoon met frequentie 5f . T.o.v. de 4e natuurtoon is de frequentie toegenomen met een factor 5/4 = 1,25. Omdat de 4e natuurtoon toon C is, moet de 5e natuurtoon dus toon E zijn. De 10e
natuurtoon is dan ook toon E.
We bekijken nu de 9
e natuurtoon. T.o.v. de 8e natuurtoon is de frequentie toegenomen met een factor 9/8 = 1,125. Omdat de 8e natuurtoon een C is, moet de 9e
natuurtoon dus een D zijn.
Voor de 16
e natuurtoon geldt dat de frequentie t.o.v. de 15e natuurtoon met een factor 16/15 = 1,067 is toegenomen. Dit betekent dat de 16e natuurtoon (bij benadering) een halve toon hoger is dan de 15e, zodat de 15e
natuurtoon een B moet zijn.
De reeks natuurtonen komt er dan zo uit te zien:

C,  C,  GCEG,  7f,  CDE,  11f,  G,  13f,  14f,  B,  C
, ………

Het is nu gemakkelijk in te zien:
dat de 7
e
natuurtoon een verlaagde B b is,
de 14
e
natuurtoon dus ook, maar dan een octaaf hoger,
dat de 11
e
natuurtoon ergens tussen F en F # ligt
en dat de 13
e
natuurtoon ergens tussen A en Ab ligt.

De reeks natuurtonen is hiermee volledig bekend. Het is de reeks:

C,  C,  GCEGBb-,  C,  DE,  F+,  G,  Ab+,  Bb-,  B,  C, ………

De tonen Bb- (iets verlaagde Bes), F+ (die ergens tussen F en F# ligt) en A b+ (verlaagde A) passen niet in de toonladder van C. Daarom worden deze i.h.a. niet gebruikt.
De 15
e en 16e natuurtoon zijn zo hoog dat ze niet alleen moeilijk aanblaasbaar zijn, maar ook vrij benauwd klinken. Nog hogere tonen zijn nagenoeg onbereikbaar, zouden nog benauwder klinken en verschillen minder dan een halve toon van de 16e natuurtoon, dus deze zijn om drieërlei redenen niet interessant.

De bruikbare tonen van de natuurtonenreeks zijn dus:

C   C   G   C   E   G   -   C   D   E   -   G

In de praktijk blijft het spelen op een koperblaasinstrument echter meestal beperkt tot de natuurtonen

C   G   C   E   G   -   C

Conclusie
I
n de loop der geschiedenis is het dus gelukt, na veel geëxperimenteer, koperblaasinstrumenten te maken die de hiervoor beschreven natuurtonenreeks kunnen produceren.
De vraag die nu nog overblijft is:
welke aanpassing maakt nu mogelijk dat toch alle tonen van elke toonladder gespeeld kunnen worden?
Welnu, dit gebeurt met ventielen (uitgevonden ca. 1815).

5. Completering van de toonladders m.b.v. ventielen

De werking van de ventielen berust op het volgende natuurkundige principe:
als de buislengte van het koperblaasinstrument toeneemt, dan neemt de frequentie f van de natuurtonenreeks f, 2f, 3f, 4f, 5f, ….. af.
Een ruwe vuistregel is: als de buislengte met 6% toeneemt, dan dalen alle natuurtonen van het instrument met ongeveer een halve toon.
Een ventiel maakt het mogelijk de buislengte te vergroten en daarmee dus de natuurtonen te verlagen. Welke verlagingen zijn nu nodig?
Tussen de natuurtonen ontbreken nogal wat tonen. We willen dat we niet alleen de natuurtonen, maar alle ontbrekende tonen en halve tonen daartussen ook kunnen spelen. Dan moeten we dus elke natuurtoon kunnen verlagen met steeds een halve toon, net zo vaak dat we kunnen uitkomen op een halve toon boven de daarvoor liggende natuurtoon. De grootste afstand tussen twee natuurtonen is 3½ toon, dus we moeten m.b.v. de ventielen tot 3 tonen kunnen verlagen. Dat kan m.b.v. 3 ventielen: ventiel 1 verlaagt met een hele toon, ventiel 2 verlaagt met een halve toon en ventiel 3 verlaagt met anderhalve toon. Door ventielen te combineren kunnen we dan elke gewenste verlaging realiseren.

6. Nabeschouwing

Hiermee is de ontwikkelingsgang van het ontstaan van volwaardige koperblaasinstrumenten op hoofdlijnen geschetst. Voorgaande maakt duidelijk dat het hier om een zeer lange geschiedenis gaat en dat experimentele ervaringen misschien nog wel belangrijker bijdragen hebben geleverd dan de wis- en natuurkunde.

 

Meer informatie over deze materie kan men vinden op www.alpenhoorns.nl.